Distintos significados del signo =

El aprendizaje de las Matemáticas implica el manejo y comprensión de los símbolos matemáticos. Al ser signos con significados convencionales los alumnos encuentran dificultades en su aprendizaje. Una de estas dificultades es el hecho de que un mismo símbolo puede tener significados distintos.

Si el alumno no adquiere el significado correcto de cada signo en el contexto en el que lo está utilizando seguramente tendrá muchas dificultades a la hora de comprender lo que está haciendo.

Uno de los signos más utilizados en matemáticas y al que los estudiantes no le dotan de un significado completo es el signo igual "=".

En esta entrada del blog vamos a centrarnos en algunos de sus significados porque considero que su conocimiento es muy importante para poder comprender multitud de expresiones aritméticas y algebraicas:

• Los alumnos empiezan utilizando el signo "=" como operador; es decir, para ellos el signo "=" indica que deben realizar una operación y escribir el resultado a su derecha. Es, pues, "una invitación a hacer algo".

El resultado de la operación realizada es correcto puesto que la expresión que hay la izquierda del signo "igual" (2+1) tiene el mismo valor que la expresión que hay a su derecha (3). 

• Cuando se ha efectuado la operación el signo "=" tiene el significado de igualdad matemática entre expresiones numéricas (relación de igualdad).

La interpretación del signo "igual" como operador seguirá siendo válida no solo en aritmética sino también en otros campos de las matemáticas como, por ejemplo, en álgebra (operando polinomios o fracciones algebraicas...)

En este caso, el signo igual tiene un significado unidireccional puesto que lo que hay a la izquierda del signo (=) es igual a lo que hay a su derecha, pero carece de interés que lo que hay a la derecha sea igual a lo que hay a su izquierda.

Ejemplo:  2 + 1 = 3 implica que la suma de 2 más 1 da como resultado 3, pero no tiene mucho interés que 3 sea la suma de 2 más 1, aunque sea cierto.

La solución de una operación será correcta cuando a ambos lados del signo "=" aparezcan expresiones que sean iguales. 

Parece una obviedad, pero no lo es.  Hay alumnos que utilizan el signo "=" relacionando expresiones que no son iguales. 

Veamos un ejemplo real:

Es cierto que la respuesta final del alumno es correcta puesto que  2 + 3 + 4 + 5 es igual a 14, pero ha utilizado mal los dos primeros signos = puesto que, si leemos paso a paso la cadena de igualdades, el alumno afirma que 2 + 3 = 5 + 4  y que 5 + 4 = 9 + 5.

Debemos corregir estos errores desde el primer momento para que el alumno utilice siempre de forma adecuada el signo "igual".

• A medida que avanza en sus estudios, el alumno se encuentra con otro tipo de igualdades en las que también se interpreta el signo "=" como igualdad matemática entre expresiones. Son, por ejemplo, las expresiones que se utilizan para enunciar propiedades de las operaciones, las identidades notables, las fórmulas de geometría... 

Veamos algunos ejemplos:

(Propiedad conmutativa de la suma)

(Cuadrado del binomio suma)

(Área de un rectángulo)

En este caso, el signo "=" tiene un significado de equivalencia. Su significado es bidireccional: el primer miembro de la igualdad es igual al segundo, y al revés, el segundo miembro de la igualdad es igual al primero. Es decir, "cada igualdad en realidad son dos igualdades", una leída de izquierda a derecha y otra leída de derecha a izquierda.

• En otras ocasiones, utilizamos el signo "=" para asignar valores a ciertos parámetros o variables, por ejemplo: 

                                                    o

• Pero lo que resulta complicado de entender para muchos de nuestros alumnos es el significado del signo "=" en una ecuación, porque, en este caso, no actúa ni como operador que nos invita a efectuar algún cálculo ni como igualdad entre dos expresiones (ya que lo que aparece a ambos lados del signo = no es igual siempre). 

Entonces, ¿qué interpretación debemos dar la signo "=" en una ecuación?

He leído en algunos textos que tiene un "significado condicional". Es decir, que podemos interpretar la expresión 3x - 5 = 1,   diciendo: "Si es cierto que  3x - 5  es igual a 1, entonces x debe valer ...". 

Aunque, en otras ocasiones, se interpreta una ecuación como una "propuesta de igualdad", es decir, como una igualdad entre expresiones que solo es cierta para algunos valores de la incógnita, por lo que podemos interpretar la expresión  3x - 5 = 1   en forma de pregunta: "¿Para qué valor de x es cierto que la expresión 3x - 5 es igual a 1?"

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Los profesores debemos acostumbrar al alumno a que se detenga a interpretar adecuadamente el significado del signo "=" cada vez que aparezca en un ejercicio o cada vez que necesite utilizarlo en alguna situación. 

De este modo evitaremos errores tan habituales y absurdos como el que se muestra en el siguiente ejemplo real:

Ejercicio:  Simplifica la siguiente expresión: 

Resolución del alumno (errónea, por supuesto):  

El alumno ha transformado un ejercicio en el que se pedía que simplificara una expresión algebraica (donde el signo = tenía un significado de operador), en otro muy diferente como es la resolución de una ecuación de segundo grado.

En este proceso, ha utilizado correctamente el primer signo = pero, de repente, ha igualado el polinomio resultante a 0. No me preguntéis por qué, pero ha transformado el polinomio (que era el resultado buscado) en una ecuación de segundo grado, por lo que, al final, la respuesta a la simplificación pedida ha sido que x vale 2 o  -1. Lógicamente, no tiene sentido.

Muchos errores como éste se evitarían si el alumno se parase a pensar qué significado tiene cada uno de los signos "=" que utiliza:

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Acabemos con una curiosidad:

¿Cuál es el origen histórico del signo de la igualdad? 

El signo igual "=", fue inventado en 1557 por un médico y matemático llamado Robert Recorde. Este señor, de nacionalidad inglesa, estudió en las universidades de Oxford y Cambridge, alternando su vida profesional entre la práctica de la medicina y la enseñanza de las matemáticas. 

Escribió numerosos tratados sobre ambas disciplinas, pero nos interesa especialmente uno, titulado: The Whetstone of Witte. En este libro fue en donde introdujo por primera vez el signo igual, y lo hizo con el fin de evitar la repetición continua de las palabras “igual a”. En el libro Recorde escribe:

“Para evitar la repetición tediosa de estas palabras: es igual a: fijaré, como hago con frecuencia en el transcurso de mi trabajo, un par de paralelas, o líneas gemelas de longitud uno: =, porque no hay dos cosas que puedan ser más iguales.”

Esta ocurrencia del matemático supuso un paso histórico hacia la simbolización del cálculo matemático; y fue tal el éxito que alcanzó, que pronto fue asimilado por todos los matemáticos, hasta el punto que seguimos usándolo más de 450 años después de su invención.

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Espero haberte hecho pensar un poco en los distintos significados del signo (=) y que eso te ayude a decidir qué interpretación debemos darle en cada caso. 

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Y ya que la educación en valores debe estar siempre presente en todas las materias, aprovechemos este artículo sobre el signo "=" para reivindicar la igualdad... entre hombre y mujeres.

Trabajar a diario.

Para muchos de nuestros alumnos, incluidos los catalogados como "buenos estudiantes", estudiar matemáticas en casa consiste en hacer la tarea que manda el profesor.

Pero casi todos los alumnos que hacen la tarea lo hacen por obligación, "porque me lo manda el profe y si no lo hago me pone un negativo...". Son pocos los alumnos que hacen la tarea por necesidad, "si no hago la tarea no me entero de lo que hemos trabajado en clase y no aprendo..."

Bien es cierto que, para que los alumnos puedan hacer la tarea cada tarde, los profesores debemos ser comedidos a la hora de poner ejercicios. Es mejor que hagan 3 o 4 ejercicios fijándose bien en lo que hacen, a que tengan que resolver 10 o 12, o hasta una hoja entera de ejercicios... y lo hagan de cualquier manera con tal de terminar pronto, o se lo  copien de un compañero para evitar la reprimenda del profesor.

¿Cómo debo hacer la tarea?

Antes de empezar a resolver los ejercicios, debe leer los apartados de teoría trabajados en clase para recordar las ideas principales. A veces, solo necesitará un repaso muy ligero, pero, si no ha entendido bien la explicación del profesor, el repaso debe ser más profundo.

A continuación, ya puede resolver los ejercicios.

El profesor pone la tarea para el conjunto de la clase, pero cada alumno puede adaptar los ejercicios a su nivel de conocimientos. 

Si un alumno tiene dificultades en ese tema y comprende que los ejercicios propuestos son muy complicados para él, tal vez deba empezar por hacer ejercicios más sencillos; en cambio, si el alumno comprende que los ejercicios propuestos por el profesor son muy fáciles para él, debería hacer algún otro de mayor dificultad.

En cualquier caso, el alumno intentará hacer el trabajo solo. Si algún ejercicio no se sabe resolver o se resuelve de forma incorrecta, puede revisar los ejercicios corregidos en clase o los ejemplos resueltos que suelen venir en el libro de texto. Incluso puede pedir ayuda a algún compañero o familiar que tenga conocimientos en el tema.

Actualmente, el alumno dispone de muchos medios para resolver sus dudas en casa. En internet hay mucho material disponible, páginas web con teoría y ejercicios resueltos, tutoriales en vídeo muy interesantes, blogs como éste donde intentamos ayudar a los alumnos... Lo importante es buscar la forma de resolver nuestras dudas y no quedarnos parados, esperando que nos las resuelvan los demás.

Recordemos que el alumno debe aprender de forma progresiva, adquiriendo buena base para el futuro, por eso es fundamental que no avance hasta que haya comprendido bien lo que está haciendo.

Si ve que su nivel no es muy alto, debe dedicar bastante tiempo a resolver ejercicios sencillos. Ya tendrá tiempo de aumentar el grado de dificultad cuando haya asimilado bien los contenidos.

"¿Y si el profesor no nos ha puesto tarea...?"

Hay profesores que tenemos la costumbre de poner tarea todos los días, sobre todo en primaria y secundaria, aunque progresivamente vamos dejando de ponerla en los últimos cursos de secundaria y en bachillerato para que el alumno se vaya acostumbrando a ser autónomo y aprenda a organizar sus estudios.

El alumno que no ha comprendido la importancia que tiene trabajar a diario esta materia, cuando su profesor no pone tarea pensará que no tiene nada que hacer, y eso hará, "nada".

En cambio, el alumno que siente la necesidad de trabajar a diario buscará tareas para hacer, repasará lo que se visto en clase, resolverá ejercicios similares... y, si tiene dudas, aprovechará la clase siguiente para preguntárselas al profesor y podrá así avanzar.

Ese es el objetivo que buscamos conseguir, que el alumno aprenda a organizarse y sea autónomo.

No hay que desesperarse...

Los alumnos suelen tener la impresión de que, si al final no han salido los ejercicios, han perdido el tiempo, pero no es así. 

Todo ese trabajo personal y diario es muy importante porque habremos dedicado tiempo a pensar, habremos razonado, sabremos dónde han surgido las dificultades y, cuando se corrijan los ejercicios en clase, entenderemos por qué no nos salieron bien y cómo deberíamos haberlos resuelto correctamente.

Para aprender hay que practicar y practicar, y a veces hay que equivocarse. Lo importante es comprender la forma de resolver cada ejercicio, y no repetir y repetir su resolución hasta memorizarlo, porque es poco probable que tengamos que volver a resolver el mismo ejercicio aunque, seguramente, sí que tengamos que resolver otros parecidos.

Recuerda: Siempre que estás trabajando, estás aprendiendo, aunque a veces te cueste creerlo.