Los números naturales y los enteros.

Desde muy temprana edad se introducen los números en nuestra vida. Ya en la educación infantil se trabaja el concepto de cantidad y los niños empiezan a familiarizarse con los símbolos 1, 2, 3... asociados al número de objetos que hay en un conjunto.

A medida que vamos creciendo aprendemos más y más números, y vamos conociendo otros conjuntos numéricos, algunos de ellos muy extraños, como los números "negativos", las "fracciones", los números "decimales"...

En esta entrada y en otras posteriores, pretendo poner un poquito de orden dentro del inmenso conjunto de números con los que hemos tenido que trabajar, aclarando algunas ideas básicas.

• Los números naturales.

Los números naturales surgen de la necesidad del hombre de contar los objetos que hay en su entorno. Su origen se remonta a la era primitiva, aunque entonces, lógicamente, no utilizaban los símbolos que actualmente conocemos.

En un principio, se supone que para contar harían marcas en los árboles, utilizarían piedras o harían nudos en las cuerdas... 

Con el paso del tiempo, empezaron a utilizar símbolos, como, por ejemplo, en el sistema de numeración romano, el egipcio, el griego, el maya...

El sistema de numeración tal y como lo conocemos en la actualidad es el indo-arábigo, y fue bastante posterior.

Los números naturales son, pues, los que se utilizan para contar y ordenar. 

Así, decimos, por ejemplo, "tengo quince años (15)" o "vivo en el tercer piso (3)"...

• El número cero.

La historia del número 0 es diferente. El hombre primitivo no tenía necesidad de contar conjuntos que no tuvieran ningún elemento. 

Para qué contar "cero" elefantes, por ejemplo; si no había ningún elefante, no había necesidad de contar nada... Por eso, el número "cero" tardó mucho tiempo en aparecer.

Aunque algunas civilizaciones ya usaron la idea de número cero representando el "vacío", este número no tuvo especial trascendencia hasta que los árabes lo exportaron a occidente desde la India. Fíjate que civilizaciones tan importantes como la romana nunca utilizaron el número cero.

Después de muchos debates, actualmente se reconoce el número cero como número natural, y, de hecho, habrás estudiado que el conjunto de los números naturales se simboliza por N (inicial de la palabra "natural") y está formado por los números:

Con los números naturales se pueden definir algunas operaciones, como la suma o la multiplicación, pero no se pueden definir otras, como la resta o la división, porque, en general, no se pueden efectuar:

• Los números enteros.

Los números negativos se llamaron inicialmente "números deudos" o "números absurdos". Aunque las primeras manifestaciones de su uso se remontan al siglo V en oriente, hasta el siglo XVI no llegan a occidente. 

Parece ser que la diferenciación entre números positivos y negativos se interpretó como créditos y débitos ("lo que tengo" y "lo que debo")

Hasta finales del siglo XVIII los números enteros no fueron aceptados universalmente.

Actualmente, utilizamos los números enteros con mucha naturalidad, por ejemplo:

• Cuando queremos distinguir entre tener 1000 euros en el banco (1000 o +1000) o deber 1000 euros al banco (-1000)

• Para diferenciar entre temperaturas sobre cero (15º C) y temperaturas bajo cero (- 2º C)

• Cuando estamos en un ascensor y queremos distinguir entre subir al tercer piso (pulsar el 3º) o bajar el garaje (pulsar el -1)...

Como sabrás, el conjunto de los números enteros está formado por los números naturales (positivos) y por los opuestos de los números naturales (negativos).

Se simboliza por la letra Z, que proviene de la expresión Zahien, que, en alemán, significa "número". 

Con los números enteros podemos seguir realizando las operaciones de sumar y multiplicar, como ocurría con los números naturales, pero ya podemos definir la resta de enteros, no así la división. 

Como sabes, los números enteros se representan en una recta del siguiente modo:

Este tipo de representación permite ordenar los números enteros sabiendo que su valor aumenta de izquierda a derecha, es decir, un número es mayor que otro cuando está representado a su derecha:

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Por ahora, tenemos bastante...

En una próxima entrada hablaremos de los números racionales y de los irracionales.

Y para acabar, con un poco de humor matemático...

Primeros pasos en trigonometría.

En esta entrada pretendo introducirte en el increíble mundo de la trigonometría, que, por desgracia, suele ser una parte de las matemáticas que no goza de muchas simpatías entre los alumnos, seguramente porque se han dedicado a estudiarla aprendiéndose de memoria las innumerables fórmulas que aparecen en los libros de texto, y así, desde luego, la trigonometría resulta muy aburrida.

No quiero que sea un curso acelerado de trigonometría, solo vamos a dar los primeros pasos para entender las nociones básicas y las aplicaciones prácticas que tiene.

En posteriores entradas iremos ampliando nuestros conocimientos sobre el tema.

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• La palabra "trigonometría" proviene del griego y significa "medida de triángulos". Por lo tanto, la trigonometría es la parte de las matemáticas que se dedica a estudiar las relaciones entre los elementos de un triángulo (sus 3 lados y sus 3 ángulos)

Ya desde antiguo, los estudiosos de la geometría observaron que en los triángulos rectángulos semejantes la razón entre las longitudes de dos de sus lados se mantenía constante. Y lo utilizaron, entre otras cosas, para hallar medidas inaccesibles:

Si dibujamos un ángulo agudo "alfa" y trazamos varias perpendiculares a uno de los lados, formamos varios triángulos rectángulos semejantes, como se observa en la figura:

Observa que la razón (cociente) entre los lados AB y OA es igual que la razón entre A'B' y OA', y la misma también que la razón entre A''B'' y OA''. Lo mismo ocurre si dividimos cualquier otra pareja de lados correspondientes en dos de dichos triángulos. 

Por lo tanto, el resultado de dichas razones (cocientes) solo depende del ángulo considerado y no del triángulo rectángulo que tomemos. 

Decidieron, pues, poner nombre a cada una de las razones entre los lados de un triángulo rectángulo. De ahí surgieron las definiciones de seno, coseno y tangente de un ángulo agudo:

• Como puedes apreciar en las definiciones anteriores, las razones trigonométricas de ángulos agudos son cocientes entre longitudes, por lo tanto son NÚMEROS POSITIVOS (sin unidad de medida).

¡¡ Ojo !!  Todo esto cambiará cuando pasemos a trabajar con ángulos cualesquiera. Lo dicho anteriormente, solo sirve para ángulos agudos.

• Por otra parte, es muy importante que comprendas que las razones trigonométricas son números asociados a cada ángulo, por lo que es imprescindible que no olvides indicar el ángulo en cada razón trigonométrica. No tiene sentido, pues, escribir "sen", "cos" o "tg" si no indicamos a su derecha el ángulo de que estamos hallando las razones trigonométricas.

Es una "falta de ortografía matemática" escribir expresiones como:  

Supongo que estarás pensando: "Pero qué más da, si se entiende bien lo que quiero decir..." 

No da igual, tienes que esforzarte en expresar adecuadamente lo que dices porque siempre debemos hablar y escribir de forma correcta, incluso cuando usamos lenguaje matemático.

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• Utilizando las definiciones anteriores y algunos recursos básicos de geometría (el teorema de Pitágoras y la propiedad, conocida por todos, que asegura que la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180 grados), podemos hallar la medida de todos los elementos de un triángulo rectángulo conociendo tres de ellos (recuerda que uno de los ángulos es conocido porque es recto).

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¿Y qué interés práctico puede tener todo esto?

Lo curioso es que esos números (seno, coseno y tangente de un ángulo) que, de momento, no parecen tener ninguna utilidad, nos van a ayudar a resolver innumerables problemas en el futuro.

En contra de los que muchos estudiantes piensan, la trigonometría tiene muchísimas aplicaciones prácticas en campos tan diversos como pueden ser la geometría, física, arquitectura, ingeniería, cartografía, navegación, topografía, geografía, astronomía, meteorología, economía...

Es una herramienta muy útil que nos ayuda a resolver problemas como, por ejemplo:

• La obtención de la inclinación de una recta, por ejemplo, una carretera  (geometría o topografía):

• El cálculo de distancias de difícil acceso (topografía):

• El estudio de los planos inclinados en física:

• El estudio de los movimientos de ondas como la luz, el sonido o las ondas magnéticas (física):

• Determinación de modelos de temperatura o la estimación del techo de la nube (meteorología):

• La obtención de las coordenadas geográficas de un punto de la Tierra (geografía):

• La utilización de los sistemas de navegación por satélite:

• El uso de instrumentos como el GPS, por ejemplo:

• El cálculo de la distancia entre estrellas y otros cuerpos celestes (astronomía):

• La obtención de ángulos en el cielo (astronomía):

• Cálculo de distancias y fuerzas en arquitectura:

• Estudio del comportamiento cíclico de los mercados  y de la economía:

• Y otras aplicaciones que puedes encontrar si tienes interés y dedicas un rato a buscar en internet...

En la siguiente imagen se resumen algunas de las aplicaciones que hemos mencionado anteriormente:

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Como ves, solo hemos dado unas pinceladas sobre el tema. Únicamente hemos definido las tres razones trigonométricas básicas y hemos visto algunas de las muchas aplicaciones del tema.

Ojalá haya conseguido motivarte para que cuando tengas que estudiar la trigonometría en clase lo hagas con ilusión puesto que es muy probable que tengas que utilizar estos recursos con frecuencia en el futuro. 

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Si quieres profundizar en el tema puedes trabajar con los materiales que encontrarás en los siguientes enlaces:

MATEX: Trigonometría (1º parte)

MATEX: Trigonometría (2º parte)