El concepto de límite de una función en el infinito.

En una entrada anterior, aclaramos el concepto de límite de una función en un punto x=a. Te dejo el enlace por si necesitas recordar dicho concepto:

El concepto de límite de una función en un punto

Ahora pretendemos comprender el concepto de límite de una función en el infinito, puesto que buscamos estudiar el comportamiento de la función cuando la variable independiente toma valores muy muy grandes positivos ("x tiende a +infinito") o muy muy grandes en valor absoluto pero negativos ("x tiende a - infinito")

Trataremos cada uno de estos casos por separado.

• Límite de una función cuando x tiende a + infinito

Con este límite estudiaremos el comportamiento de la función cuando x toma valores positivos y tan grandes como queramos. Veamos algunos ejemplos:

Simbolizamos cada una de las situaciones anteriores de la siguiente forma:

Observa ahora la interpretación gráfica de cada una de estas situaciones:

     

Es especialmente importante la situación que se presenta en la primera gráfica. Al estudiar el comportamiento de la función cuando x crece indefinidamente, nos encontramos con la existencia de una asíntota horizontal.

Por lo tanto, cuando el límite en + infinito de una función es un número L, la gráfica de dicha función presenta una asíntota horizontal, que es la recta de ecuación  y = L .

Este mismo gráfico puede ayudarnos a comprender mejor la definición formal de este tipo de límite.

Diremos que el límite de una función cuando x tiende a + infinito es un número L si podemos conseguir que la función tome valores tan próximos a L como queremos con solo tomar valores de x suficientemente grandes", o dicho de otro modo, "si podemos conseguir que la diferencia entre f(x) y L, en valor absoluto, sea tan pequeña como queremos con solo tomar valores suficientemente grandes de x".

Tal vez ahora, puedas llegar a comprender la definición formal de este tipo de límite:

• Límite de una función cuando x tiende a - infinito.

Tendremos que repetir el procedimiento anterior pero tomando valores de x muy muy negativos (muy grandes en valor absoluto pero con signo negativo).

Surgen las mismas situaciones que hemos encontrado en el apartado anterior por lo que solo te mostraré un ejemplo:

Simbolizaremos ese comportamiento diciendo que:

La interpretación gráfica aparece en la siguiente imagen en la que se nos recuerda el concepto de asíntota horizontal:

Quiero terminar mostrándote una situación curiosa. Se trata de una función que tiene dos asíntotas horizontales puesto que presenta comportamientos distintos en + infinito y en - infinito:

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Espero haberte ayudado a comprender el concepto de límite de una función cuando...

El concepto de límite de una función en un punto.

Seguramente, uno de los conceptos más importantes de las matemáticas sea el concepto de límite de una función. Es muy probable que hayas aprendido a calcular límites mecánicamente pero no sepas lo que realmente estás haciendo.

Aquí vamos a centrarnos en entender el concepto de límite de una función en un punto x=a. En otra entrada posterior abordaremos el concepto de límite de una función cuando x tiende a infinito.

Las técnicas de cálculo de límites ya las estudiarás en clase porque eso es mucho más fácil de aprender.

• ¿Para qué calculamos límites de funciones?

Cuando necesitamos conocer el valor de una función en un punto simplemente sustituimos el valor de x en la expresión analítica de la función y operamos para obtener su imagen. Lo que ocurre es que ciertas funciones tienen comportamientos "peculiares" en algunos puntos.

Mediante el cálculo de límites de funciones queremos estudiar el comportamiento de una función f(x) en alguna zona de su dominio, descubriendo si dicha función muestra algún tipo de tendencia cuando tomamos valores de x muy próximos a un cierto punto, o bien cuando tomamos valores de x muy grandes positivos o muy grandes negativos.

Los límites de funciones sirven, pues, para descubrir tendencias en el comportamiento de las funciones.

Observa la siguiente gráfica. Vamos a estudiar algunos comportamientos que nos llaman la atención en esta función:

a)  ¿Qué ocurre con la función en las proximidades de x = -2?

Si tomamos valores de x muy próximos a -2, sus imágenes van siendo muy muy grandes, diríamos que tienden a + infinito.

b)  ¿Qué ocurre con la función en las proximidades de x = -1?

Si tomamos valores de x muy parecidos a -1, sus imágenes se aproximan a 1 tanto como queramos (pero no llegan a tomar el valor 1 porque el punto (-1,1) está abierto).

c)  ¿Qué ocurre con la función en las proximidades de x = 0?

Si tomamos valores de x muy próximos a 0, sus imágenes se aproximan a 1'5 tanto como queramos (llegando a tomar el valor 1'5 en x=0.

d)  ¿Qué ocurre con la función en las proximidades de x = 1?

Ahora, si nos aproximamos a x=1 por su izquierda, la función se aproxima a 2 tanto como queramos, pero si nos aproximamos a x=1 por su derecha, la función se aproxima a 3 tanto como queramos.

e)  ¿Qué ocurre si tomamos valores de x muy muy grandes pero negativos?

Observamos que, en este caso, las imágenes obtenidas (y) van siendo números cada vez más próximos a 0, llegando a ser tan pequeños como queramos.

f)  Por último, ¿qué ocurre si tomamos valores de x muy muy grandes pero positivos?

En este caso, las imágenes obtenidas para dichos valores son cada vez más grandes en valor absoluto pero negativas.

En los próximos apartados vamos a ir precisando todas estas situaciones. Sólo te adelanto que representaremos cada uno de los casos anteriores del siguiente modo:

El problema es que habitualmente no conoceremos la gráfica de la función y tendremos que hacer todo el estudio a partir de su expresión analítica.

De hecho, uno de los objetivos fundamentales del Análisis Funcional es obtener toda la información posible sobre la gráfica de una función a partir de su expresión analítica. Como irás descubriendo, el cálculo de límites es una herramienta muy importante pues nos permitirá estudiar la continuidad de la función, la existencia de asíntotas...

Nosotros comenzaremos el estudio de los límites desde el punto de vista intuitivo, calculando imágenes de puntos adecuados y descubriendo su tendencia.

Para acabar, introduciremos la definición formal de límite en algún caso concreto, simplemente para que observes lo complejo que puede resultar dar una definición precisa y rigurosa de ciertos conceptos en matemáticas.

• Límite finito de una función en un punto x=a

Calcularemos este tipo de límites cuando pretendamos estudiar el comportamiento de la función en las proximidades de un punto concreto x=a.

Supongamos que queremos estimar el comportamiento de la siguiente función en las proximidades de x = 2:

Para ello, vamos a tomar valores de x cada vez más próximos a 2 y estudiaremos el comportamiento de sus imágenes. Pero lo vamos a hacer de forma ordenada.

Primero nos vamos a acercar a 2 por su derecha, es decir, con valores mayores que 2, tales como: 3, 2'5, 2'1, 2'05,  2'04, 2'03, 2'02, 2'01, 2'001, 2'0001... y hallaremos sus correspondientes imágenes:

Observa que las imágenes se aproximan muchísimo a 1. En este caso, diremos que el límite de la función cuando x tiende a 2 por la derecha es 1.

A continuación, nos acercamos a 2 por su izquierda, es decir, con valores menores que 2, tales como: 1, 1'5, 1'7, 1'9, 1'95, 1'97, 1'98, 1'99, 1'999, 1'9999... y hallaremos sus correspondientes imágenes:

Comprobamos que las imágenes también se aproximan muchísimo a 1. Diremos que el límite de la función cuando x tiende a 2 por la izquierda también es 1.

Y como tiende a 1 por la derecha y por la izquierda, diremos que el límite de la función cuando x tiende a 2 es 1.

Por lo tanto, podremos conseguir que la función anterior tome valores tan próximos a 1 como queremos con tal de tomar valores de x tan próximos a 2 como sea necesario.

En esta afirmación se basa la definición formal de límite de una función en un punto, que, como verás a continuación, es bastante complicada de entender por su simbolismo:

Viene a decir que podemos conseguir que f(x) tome valores muy próximos a L tomando valores de x suficientemente próximos a "a". 

Dicho de otro modo, podemos conseguir que la diferencia  f(x) - L  sea prácticamente 0 en valor absoluto tomando valores de x muy próximos a "a", es decir, tales que  x - a  sea prácticamente 0 en valor absoluto.

Intenta comprender la definición con ayuda del siguiente gráfico:

Es una definición bastante abstracta, pero tendrás que acostumbrarte a esta notación y a este tipo de definición formal en cursos superiores. De momento, es mucho más interesante que comprendas la idea intuitiva de límite.

• Límite infinito de una función en un punto x=a.

Vamos a estudiar el comportamiento de la siguiente función alrededor del punto x=3:

Para ello damos valores a x próximos a 3, primero por la izquierda y luego por la derecha:

A medida que x tiende a 3 por la izquierda, la función toma valores tan grandes y negativos como queramos, y a medida que x tiende a 3 por la derecha, la función toma valores tan grandes y positivos como queramos. Es decir:

En este caso, se dice que la función diverge a infinito aunque hay autores que dicen que dicho límite en x=3 no existe puesto que son distintos los límites laterales. Ambas afirmaciones se consideran correctas.

La gráfica de la función estudiada es:

Observa que el efecto gráfico del límite infinito obtenido es la existencia de una asíntota vertical (la recta de ecuación x=3) en la gráfica de dicha función. 

Observa este otro ejemplo:

En este caso, diremos que:

y la recta x=1 será una asíntota vertical que nos será de gran ayuda a la hora de representar la gráfica de dicha función. 

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Para que puedas comprobar si has entendido los conceptos anteriores, vamos a estudiar el comportamiento de la siguiente función en algunos puntos:

• ¿Cómo se comporta esta función alrededor de x = -2?

Observa que por la izquierda tiende a 1 mientras que por la derecha tiende a -1. Como los límites laterales son distintos decimos que en x = -2  no tiene límite.

• ¿Cómo se comporta alrededor de x = 0?

En el gráfico se puede comprobar que tanto por la izquierda como por la derecha tiende a 1, por lo que diremos que el límite cuando x tiende a 0 es 1. 

Fíjate que esta función no está definida en x=0, lo que no influye en el cálculo del límite porque con el límite queremos estudiar el comportamiento de la función en las proximidades de 0 (sin importar lo que ocurra cuando x vale 0).

• ¿Cómo se comporta alrededor de x = 2?

En este caso, cuando tiende a 2 por la izquierda la función toma valores grandísimos pero negativos. Diremos que el límite por la izquierda es "- infinito". 

En cambio, cuando tiende a 2 por la derecha la función toma valores grandísimos y positivos. Por lo tanto, el límite por la derecha es "+ infinito".

Observa la existencia de una asíntota vertical en la gráfica de la función, cuya ecuación es x = 2.

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Con esto concluimos el estudio del concepto de límite de una función en un punto. Como te decía al principio, en una entrada posterior abordaremos el concepto de límite de una función cuando x tiende a más o menos infinito.

Las funciones en la vida cotidiana (2ª parte)

En una entrada anterior tratamos sobre las aplicaciones de las funciones lineales, cuadráticas y racionales a la vida cotidiana. 

Las funciones en la vida cotidiana (1ª parte)

En esta ocasión vamos a centrarnos en las aplicaciones de otros tipos de funciones de gran interés:

• Funciones exponenciales.
• Funciones logarítmicas.
• Funciones trigonométricas.

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LAS FUNCIONES EXPONENCIALES

Como sabrás, hay dos tipos de funciones exponenciales, las crecientes (en rojo) y las decrecientes (en verde) según la base "a" sea mayor que 1 o esté comprendida entre 0 y 1.

La función exponencial sirve para describir cualquier proceso que evolucione de modo que cualquier aumento (o disminución) en un pequeño intervalo de tiempo sea proporcional a lo que había al comienzo del mismo.

Veamos algunos ejemplos:

-  Crecimiento de poblaciones.

Observa la siguiente gráfica que representa la evolución de la población mundial.

¿No te recuerda a la gráfica de la función exponencial creciente?

-  Interés del dinero acumulado.

En el interés compuesto, los intereses producidos por un capital inicial se van acumulando a éste, de tiempo en tiempo, para producir nuevos intereses.

El capital final se obtiene mediante la siguiente fórmula:

Observa la siguiente gráfica en la que se muestra la evolución del capital según se aplique interés simple o interés compuesto:

Como se puede comprobar, el modelo basado en el interés simple es lineal mientras que el modelo basado en el interés compuesto es exponencial.

-  Desintegración radiactiva.

Las sustancias radioactivas se desintegran con el paso del tiempo. La cantidad N de una sustancia que va quedando a lo largo del tiempo viene dada por la expresión:

La rapidez de desintegración de las sustancias radioactivas se mide por el "periodo de desintegración" que es el tiempo que tarda en reducirse a la mitad.

El siguiente gráfico nos muestra la evolución del número de átomos radioactivos del estroncio-90:

¿No te recuerda a la función exponencial decreciente?

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LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS

Observa el comportamiento de la función logarítmica creciente (base "a" mayor que 1). Comienza con un crecimiento muy brusco para llevar a un crecimiento mucho más suave a medida que aumenta el valor de x.

En geología se utiliza la función logarítmica, por ejemplo, para hallar la intensidad de un seísmo.

Los astrónomos utilizan funciones logarítmicas para calcular alguna magnitud estelar de una estrella o planeta, como su brillantez o su tamaño.

En física, la función logarítmica tiene muchas aplicaciones como, por ejemplo, calcular el nivel de intensidad de un sonido:

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LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Ya vimos en una entrada anterior algunas aplicaciones de la trigonometría para resolver problemas relativos a muchas ciencias (física, geografía, astronomía...). Ahora vamos a centrarnos en las aplicaciones de las funciones trigonométricas.

En las gráficas anteriores podemos observar una propiedad común a las tres funciones trigonométricas que es la periodicidad. La gráfica de cada una de las tres funciones repite constantemente un patrón. Esta propiedad hace que estas funciones se utilicen para modelizar aquellos fenómenos que presentan un comportamiento periódico.

Por este motivo, encontramos aplicaciones de las funciones trigonométricas en la física y en casi todas las ramas de la ingeniería en las que se estudian multitud de fenómenos periódicos como puede ser la propagación de ondas (las ondas que se producen al tirar una piedra al agua o al agitar una cuerda cogida por los dos extremos), o las ondas electromagnéticas de la luz, el microondas o los rayos X, las ondas sonoras...

También se usan las funciones trigonométricas en economía para estudiar, por ejemplo, los ciclos de los mercados financieros o los ciclos económicos:

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Espero que después de comprobar las múltiples aplicaciones de las funciones a la vida cotidiana estés más motivado para estudiarlas con decisión y empeño. Seguro que te serán de mucha utilidad en el futuro.

Magnitudes escalares y magnitudes vectoriales.

¿Qué es una magnitud? 

De una manera sencilla, podemos decir que una magnitud es aquella propiedad de los cuerpos que puede ser medida.

Pero, ¿qué es medir?

Medir es comparar una magnitud con otra de la misma especie tomada como patrón de medida.

Así por ejemplo, cuando decimos que una habitación mide 5 metros de larga es porque podemos llevar el patrón de medida, llamado metro, cinco veces a lo largo de dicha habitación.

Una vez aclarado lo que entendemos por "magnitud", vamos a distinguir entre "magnitudes escalares" y "magnitudes vectoriales".

MAGNITUDES ESCALARES

Son aquellas magnitudes que quedan perfectamente determinadas mediante un valor numérico y su unidad de medida.

Por ejemplo, son magnitudes escalares la longitud, la superficie, el volumen, la masa, el tiempo, la temperatura...

De este modo, decimos que una persona mide 1'72 metros, que una habitación tiene una superficie de 8 metros cuadrados, que una piscina tiene un volumen de 100 metros cúbicos de agua, que un niño tiene una masa de 25 kilos, que una clase dura 50 minutos o que en la calle hay 30ºC de temperatura...  

MAGNITUDES VECTORIALES

Son aquellas magnitudes que vienen determinadas por un valor numérico, la unidad de medida correspondiente, una dirección y un sentido.

Fíjate en el siguiente ejemplo en el que pretendemos determinar el desplazamiento de una tortuga:

Si decimos que una tortuga se ha desplazado dos metros no podemos saber con exactitud dónde se encuentra aunque sepamos el punto de partida puesto que podría estar en infinitos puntos (Fig.1 a)). 

Aunque digamos que se ha desplazado en dirección "Norte-Sur" tampoco lo sabremos con precisión, puesto que podría estar en dos puntos (Fig.1 b)). 

Pero si decimos que se ha desplazado 2 metros en dirección NS y en sentido hacia el Norte, sí sabremos la posición final de la tortuga puesto que ahora sólo puede estar en un punto (Fig.1 c)).

Son magnitudes vectoriales el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza...

En todas ellas, debemos indicar, además del valor numérico y la unidad de medida, la dirección y el sentido que tienen.

Para representar gráficamente magnitudes vectoriales utilizamos vectores, que se definen en matemáticas como "segmentos orientados".

Utilizamos el siguiente vector para indicar que un móvil se ha desplazado desde el punto A (origen) hasta el punto B (extremo):

• Se denomina módulo a la distancia que hay desde el origen hasta el extremo, es decir, es la longitud del vector.
• Se denomina dirección a la que tiene la recta sobre la que se apoya el vector o cualquier paralela a ésta.
• Se denomina sentido al que va desde el origen hasta el extremo, y viene indicado por la flecha.

EN RESUMEN: